Πανελλήνιες · Μαθηματικά Προσανατολισμού ΓΕΛ

Διαφορικός λογισμός: Σωστό–Λάθος

47 ερωτήσεις από το κεφάλαιο «Διαφορικός λογισμός». Άνοιξε όποια θέλεις ή κάνε εξάσκηση σε όλο το κεφάλαιο, μία ερώτηση τη φορά.

Εξάσκηση στο κεφάλαιο

Οι ερωτήσεις

Ερώτηση 68 · Σωστό ή ΛάθοςΑν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x₀, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x₀
Ερώτηση 69 · Σωστό ή ΛάθοςΑν η f δεν είναι συνεχής στο x₀, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀.
Ερώτηση 70 · Σωστό ή ΛάθοςΑν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο x₀.
Ερώτηση 72 · Σωστό ή ΛάθοςΑν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο x₀, τότε η f' είναι συνεχής στο x₀.
Ερώτηση 73 · Σωστό ή ΛάθοςΑν η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀, τότε η f' είναι πάντοτε συνεχής στο x₀.
Ερώτηση 74 · Σωστό ή ΛάθοςΑν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x₀, τότε η συνάρτηση f · g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και ισχύει: (f · g)'(x₀) = f'(x₀) g'(x₀)
Ερώτηση 75 · Σωστό ή ΛάθοςΓια δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο x₀ ισχύει: (f · g)'(x₀) = f'(x₀) g(x₀) - f(x₀) g'(x₀)
Ερώτηση 76 · Σωστό ή ΛάθοςΑν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x₀ και g(x₀) ≠ 0, τότε η συνάρτηση f/g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και ισχύει (f/g)'(x₀) = (f(x₀) g'(x₀) - f'(x₀) g(x₀))/([g(x₀)]²)
Ερώτηση 77 · Σωστό ή Λάθος(συνx)' = ημx, x ∈ ℝ
Ερώτηση 78 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω η συνάρτηση f(x) = εφx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ₁ = ℝ - x | συνx = 0 και ισχύει f'(x) = -1/(συν² x)
Ερώτηση 79 · Σωστό ή Λάθος(σφx)' = 1/(ημ² x), x ∈ ℝ - x | ημx = 0
Ερώτηση 80 · Σωστό ή ΛάθοςΙσχύει (3ˣ)' = x · 3ˣ⁻¹, για κάθε x ∈ ℝ.
Ερώτηση 81 · Σωστό ή ΛάθοςΑν f(x) = αˣ, α > 0, τότε ισχύει (αˣ)' = x αˣ⁻¹
Ερώτηση 82 · Σωστό ή ΛάθοςΓια κάθε x ≠ 0 ισχύει: [ln|x|]' = 1/x.
Ερώτηση 83 · Σωστό ή ΛάθοςΑν f(x) = ln|x| για κάθε x ≠ 0, τότε f'(x) = 1/(|x|) για κάθε x ≠ 0.
Ερώτηση 84 · Σωστό ή Λάθος(ln|x|)' = -1/x για κάθε x < 0.
Ερώτηση 85 · Σωστό ή ΛάθοςΚάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f'(x) = 0 για κάθε x ∈ (α, x₀) ∪ (x₀, β) είναι σταθερή στο (α, x₀) ∪ (x₀, β).
Ερώτηση 86 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f'(x) = g'(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε ισχύει f(x) = g(x) για κάθε x ∈ Δ.
Ερώτηση 87 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ. Αν f'(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.
Ερώτηση 88 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω f μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε f'(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.
Ερώτηση 89 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Δ.
Ερώτηση 90 · Σωστό ή ΛάθοςΓια κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ, η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει f'(x) > 0 για κάθε x ∈ Δ.
Ερώτηση 91 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ.
Ερώτηση 92 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f''(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.
Ερώτηση 93 · Σωστό ή ΛάθοςΑν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f''(x) > 0 για κάθε πραγματικό αριθμό x.
Ερώτηση 94 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η f είναι κυρτή στο Δ, τότε υποχρεωτικά f''(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ.
Ερώτηση 95 · Σωστό ή ΛάθοςΑν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση.
Ερώτηση 96 · Σωστό ή ΛάθοςΑν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.
Ερώτηση 97 · Σωστό ή ΛάθοςΑν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β], στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.
Ερώτηση 98 · Σωστό ή ΛάθοςΑν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και f'(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ (α, β), τότε f(α) ≠ f(β).
Ερώτηση 99 · Σωστό ή ΛάθοςΓια κάθε συνεχή συνάρτηση f: [α, β] → ℝ, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (α, β), αν f(α) = f(β), τότε υπάρχει ακριβώς ένα ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε f'(ξ) = 0.
Ερώτηση 100 · Σωστό ή ΛάθοςΔίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο ℝ και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα x'x. Αν υπάρχει κάποιο σημείο A(x₀, f(x₀)) της C_f, του οποίου η απόσταση από τον άξονα x'x είναι μέγιστη (ή…
Ερώτηση 101 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και x₀ ∈ [α, β] στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει ότι f'(x₀) = 0.
Ερώτηση 102 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x₀ ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και f'(x₀) = 0, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x₀.
Ερώτηση 103 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x₀ ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x₀ και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε f'(x₀) = 0.
Ερώτηση 104 · Σωστό ή ΛάθοςΤα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.
Ερώτηση 105 · Σωστό ή ΛάθοςΓια κάθε συνάρτηση f: ℝ → ℝ, που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f'(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ ℝ.
Ερώτηση 106 · Σωστό ή ΛάθοςΑν μία συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), παρουσιάζει καμπή στο σημείο x₀ ∈ (α, β), τότε f''(x₀) = 0
Ερώτηση 107 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x₀, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f'(x) > 0 στο (α, x₀) και f'(x) < 0 στο (x₀, β), τότε το f(x₀) είναι τοπικό ελάχιστο της…
Ερώτηση 108 · Σωστό ή ΛάθοςΈστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x₀. Αν η f είναι κυρτή στο (α, x₀) και κοίλη στο (x₀, β) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο A(x₀, f(x₀)) είναι υποχρεωτικά σημείο…
Ερώτηση 109 · Σωστό ή ΛάθοςΑν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.
Ερώτηση 110 · Σωστό ή ΛάθοςΈνα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της f
Ερώτηση 111 · Σωστό ή ΛάθοςΓια κάθε συνάρτηση f, το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της f, εφόσον υπάρχουν, είναι το ολικό μέγιστο της f.
Ερώτηση 112 · Σωστό ή ΛάθοςΥπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2, της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη.
Ερώτηση 113 · Σωστό ή ΛάθοςΗ γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: ℝ → ℝ μπορεί να τέμνει μια ασύμπτωτή της.
Ερώτηση 131 · Σωστό ή ΛάθοςΓια κάθε συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ, αν για κάποιο x₀ ∈ ℝ ισχύει f''(x₀) = 0, τότε το x₀ είναι θέση σημείου καμπής της f.
Ερώτηση 133 · Σωστό ή ΛάθοςΓια κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο A = (-∞, 0) ∪ (0, +∞) με f'(x) = 0 για κάθε x ∈ A, ισχύει ότι η f είναι σταθερή στο A.

Εξάσκηση ανά κεφάλαιο

Θέματα Πανελληνίων ανά έτος

Διαφορικός λογισμός: Σωστό–Λάθος

Οι ερωτήσεις